２０１５年滋賀県公立高校入試 解答編

前回の解答です。
ポイントは、
・△BQIと△BQRが合同
・△OQIと△BRHが相似
に気づくかどうかかなあ。
気づかなくても出来なくはないですが、時間が足りないでしょう。



【解答例】
△BQIと△BQRについて、
∠OBQ＝Xとすると、△OBQはOB=OQ（円Oの半径）より二等辺三角形だから、
∠OBQ＝∠OQB＝X　・・・①
円周角の定理より、
∠IOQ＝２∠OBQ＝２X
よって、
∠OQI＝１８０°ー∠IOQー∠OIQ＝１８０ー２Xー９０＝９０ー２X　・・・②
①、②より、
∠BQI＝∠OQB＋∠OGI＝X＋９０ー２X＝９０ーX　・・・③
また、
∠BQR＝∠OQRー∠OQB＝９０ーX　・・・④
③、④より、
∠BQI＝∠BQR
よって、直角三角形の合同条件より
△BQI≡△BQR（斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい）
よって、
QI＝QR＝２ｃｍ　・・・⑤
△OGIと△BRHについて、
∠IOQ＝２X、∠HBR＝X＋X＝２Xより
△OGI∽△BRH
ここで点Oから辺BRに下ろした垂線の足をMとすると、

PO//SBよりOQ=MR＝４
BM²=OB²=OM²=4²-2²（後ろの２は二乗という意味）=12
BM=√１２
よって、
BR＝MR＋BM＝４＋√１２
OG：QI＝BR：RHより
��：２＝４＋√１２：RH
RH＝２＋√３　・・・⑥
⑤、⑥より
RHーQI＝２＋√３ー２＝√３
A：√３

丁寧？に記述したつもりなので長くなりましたが、いかがでしょう。
・△BQIと△BQRが合同
・△OQIと△BRHが相似
にすぐ気付けば簡単ですが、迷ったらドツボにハマるでしょう。
この問題はすっとばして最後に時間が余ったらやるのが賢明かな。
ヤマカンで√３は出てこないでしょうから、出来なくても気にすることはないでしょう。